[양자] 3D schrodinger Equation 간단 분석 1

이 글은 시리즈로 나갈 예정입니다. 3탄까지 나갈 것 같고 초보자를 위해 쉽게 쓸 생각은 그다지 많진 않습니다. 컴퓨터로 수식을 쓰는 것은 시간이 많이 드는 일이니까요. 이 글의 목표는 schrodinger equation을 학부 수준의 과정에서 분석해 고등학교 시절 배우는 오비탈과 수소 퍼텐셜 에너지 공식을 유도할 예정입니다.

고등학생 때는 왜인지도 모르고 수소 에너지 E_1=-13.6eV를 외웠고 '오비탈이 저런 모양이 된다'고 아무 근거 없이 배웠지만 양자에서는 이를 어느 정도 증명을 할 수 있습니다. 물론 학부 수준이기 때문에 완벽한 증명은 불가능합니다만 가장 기초적인 슈뢰딩거 방정식부터 시작해서 오비탈, 수소 에너지를 유도해낼 수 있다는 것은 놀라운 것 같습니다.

첫번째 글인 이 글에서는 3차원 슈뢰딩거 방정식의 형태와 이를 통해 이끌어낼 수 있는 사실에 대해 적어보겠습니다. 3차원에서는 p operator에 gradient가 붙는다는 점만 다릅니다.

왜인지 모르겠지만 위 사진의 수식에서 모두 h-bar가 h로 쓰여있군요. h-bar(h/2pi)로 이해하시면 됩니다.
TISE(time independent s-e)에서 psi를 radial 함수와 angular 함수로 각각 분리하고 spherical coordinate를 적용하여 식을 전개하면 아래와 같은 식이 됩니다.(복잡한 수식 계산은 생략하겠습니다. 단순한 계산이므로 무시하셔도 됩니다.)

여기서 첫째항은 오로지 radial, 둘째항은 angular 값과만 관계가 있습니다. 따라서 이를 적절하게 분리해주고 상수로 생각합니다.

왜 이렇게 분리하는지는 나중에 가면 알게 될 것입니다. 저 l이 우리가 고등학교 양자 시간 때 흔히 보던 그 l입니다. 다른 말로는 azimuthal quantum number라고 부릅니다.
위의 eqaution을 radial equation, 아래의 equation을 angular equation이라고 부르겠습니다.
이제 우리가 원하는 것을 얻었습니다. 우리의 당초 목표는 슈뢰딩거 방정식으로 오비탈과 수소 퍼텐셜 에너지를 얻는 것이었습니다. radial function을 분석하면 퍼텐셜 에너지를 얻을 수 있고 angular function을 Legendre function으로 분석하면 우리가 흔히 보는 오비탈 모양의 식을 얻어낼 수 있습니다. 우리는 그 기반을 닦아놓은 셈이죠. 다음 글에서는 angular function을 먼저 다뤄보겠습니다.